Решение треугольника

Обратная геодезическая задача

Прямая геодезическая задача

Прямой геодезической задачей называется способ определения координат какой-либо точки по известным координатам другой точки, дирекционному углу и расстоянию между ними.

Пусть точка A (рисунок 30) имеет координаты х1 и у1. Из точки А на точку В определен дирекционный угол α1,2 и между точками измерено расстояние S.

Необходимо найти координаты х2 и у2 точки В.

Решение. Проведем через точки А и В линии, параллельные осям координат. Из образовавшихся построений искомые координаты точки выразятся:

х2 = х1 + АС;

у2 = у1 + СВ.

Следовательно, решение прямой задачи сводится к отысканию значений отрезков …
АС и СВ.

Отрезки АС и СВ являются катетами прямоугольного треугольника ABC и равны проекциям линии АВ на оси координат.

Проекции горизонтальных проложений линии S на оси X и Y называются приращениями координат и обозначаются соответственно AС = Δх и ВС=Δу.

Приращения координат Δх и Δу могут быть положительными и отрицательными. Знак приращения определяется значением дирекционного угла линии АВ.

 

Рисунок 30 – Прямая (обратная) геодезическая задача

 

Пример. Приращения координат точки В относительно точки А будут положительными (I четверть). Приращения координат точки A относительно точки В будут отрицательными (III четверть).

Значения приращений координат находят из соотношений прямоугольного треугольника ABC:

 

Δх = S·cos α1, 2; Δу = S·sin α1, 2 (8)

отсюда значения координат точки Вбудут:

 
 
х2 = х1 + Δх = х1 + S·Cos α1, 2; у1 + Δу = у1 + S·Sin α1, 2.

х2 = х1 + Δх = х1 + S cos α1, 2; (9)

у1 + Δу = у1 + S sin α1, 2.

Практическое решение прямой геодезической задачи производится на вычислительных машинах с использованием таблиц натуральных значений тригонометрических функций.

Вычисления выполняют в следующим порядке (таблица 6).

 

Таблица 6 – Порядок решения прямой геодезической задачи

 

№ действия Элементы формул Величина
    α1, 2 х2 = (1) + (7)   200о48’00" 6о106о845,1

 

Продолжение таблицы – 6

 

№ действия Элементы формул Величина
  х1 Δх = (3)·(6) Cos α1, 2 S Sin α1, 2 Δу = (3) · (5) y1 y2 = (2) + (8) sконр = 6о115 105,3 — 8 260,2 — 0,934 826 8 836,1 — 0,55 107 — 3 137,8 7 534 664,7 7 531 526,9   8 836,1

 

— выписывают значения исходных данных х1, y1, S и α1, 2 (действия 1 ‑ 4);

— вычисляют приращения координат Δх и Δу (действия 5 – 8);

— вычисляют координаты х2, y2 точки В (действия 9 и. 10);

— проводят контроль вычислений путем определения значения sконр по формуле

Sконр = .

Расхождение S и Sконр более чем на единицу последнего знака свидетельствует о наличии ошибок, которые выявляют повторной проверкой всех вычислений.

Обратной геодезической задачей называется способ определения дирекционного угла и расстояния между двумя точками по известным их координатам.

Возвратимся к рисунку 30. Из условия обратной задачи известны: прямоугольные координаты точек А и В (х1 и y1; х2 и y2).

Необходимо найти расстояние s между точками А и В и дирекционный угол α1, 2 из точки А на точку В.

Решение. Искомые величины находят из соотношений прямоугольного треугольника ABC:

tg α1, 2 =; s= = =. (10)

 

По значению тангенса с помощью тригонометрических таблиц определяют величину только острого угла. Острый угол, отсчитываемый от ближайшего направления оси абсцисс (северного или южного) до направления данной линии, называется румбом и обозначается буквой r.

Для отыскания значения дирекционного угла по значению румба определяют четверть, в которой находится искомое направление.

Четверть, в которой находится направление АВ, определяют по знакам приращений координат Δх и Δу, вычисляемых как разности абсцисс и ординат:

Δх = x2 – x1; Δу = y2 – у1[4].

 

Формулы перехода от румба к дирекционному углу в зависимости от знака приращения координат приведены в таблице 7.

 

Таблица 7 – Переход от румба к дирекционному углу

 

Четверть круга Знак приращения Формулы перехода от румба к дирекционному углу
Δх Δу
I II III IV + – – + + + – – α = r α = 180o – r α = 180o + r α = 360o – r

 

Искомое расстояние S определяют по формулам (10).

Наличие двух вариантов формул обеспечивает надежный контроль вычисления расстояния.

Вычисление расстояний и дирекционных углов при решении обратной геодезической задачи производят с использованием вычислительных машин и таблиц натуральных значений тригонометрических функций в следующем порядке, таблица 8:

 

 

Таблица 8 – Решение обратной геодезической задачи.

 

№ действия Элементы формул Величина
y2 у1. Δу = (4) – (2) x2 x1 Δх = (3) – (1) tg α1, 2 = (6) : (5) r 7 579 739,3 7 580 202,1 — 462,8 6 406 199,0 6 411 279,2 — 5 080,2 0,091 099 5о 12’19"

Продолжение таблицы 8

 

№ действия Элементы формул Величина
α1, 2 Sin α1, 2 Cos α1, 2 S1 S2 Sср 185о 12’19" 0,090 724 0,995 786 5 101,2 5 101,2 50 101,2

 

— выписывают координаты исходных пунктов. х1, y1, х2, у2 (действия 1 ‑ 4);

— вычисляют приращения координат Δх и Δу (действия 5 и 6); при этом всегда из координат второй точки алгебраически вычитают координаты первой точки;

— вычисляют тангенс дирекционного угла (действие 7);

— по тангенсу угла находят румб, который затем переводят в дирекционный угол с помощью таблицы 7, выбирают из таблиц синус и косинус этого угла (действия 8 – 11);

— дважды вычисляют расстояние s и за окончательное значение берут среднее из обоих результатов, при этом расхождение S1 – S2 не должно превышать более двух единиц последнего знака (действия 12 – 14).

Решением треугольника называется определение всех его сторон и углов по трем известным элементам, из которых хотя бы один должен быть его стороной.

Решение треугольника осуществляют по формулам соотношений его элементов, известных из курса тригонометрии.

Обозначив в треугольнике AВС (рисунок 31) стороны через а, в и с, а углы через А, В и С, запишем основные соотношения:

 

А + В + С = 180° (теорема суммы углов);

 

(теорема синусов);

 

а2 = в2 + с2 – 2·в·сcos A (теорема косинусов);

 

(теорема тангенсов)

и дополнительные соотношения:

Sin A = Sin· (B + C);

 

.

 

 

Рисунок 31 – Треугольник

 

Пример. Пусть в треугольнике ABC (рисунок 31) известны сторона в и углы А и В. Необходимо найти угол С и стороны а и с.

Решение проводят в следующем порядке:

— угол С находят по теореме суммы углов

— С = 180о – (А + В);

— стороны а и с вычисляют по теореме синусов

 

; ;

 

— контроль вычислений осуществляют по формуле

 

.

 

Пример вычислений приведен в таблице 9.

 

Таблица 9 – Решение треугольника

 

№ действия Элемент формулы Величина
  А   86о15’43"  
      В   С = [180o – (1) + (2)]   Контроль: (1) + (2) +(4) = 180о 46о34’52"   47о09’25"     180о00’00"  
    Sin A   Sin B   Sin C   0,997 873   0,726 348   0,733 220
        а = (3) в с = (3)   Контроль: аконтр = (10) 6о448,3   4о693,7   4о738,1   6о448,3

 

Контрольные вопросы и упражнения:

1. Дать определение прямой и обратной геодезических задач.

2. Дать вывод формул решений прямой (обратной) геодезической задачи.

3. Решить прямую задачу по данным: x1 =6 104 172,8; y1 = 5 565 542,8;

s = 4 021,4; α1, 2 =57°57’54".

Ответ: x2 = 6 106 212,4; у2 = 5 568 802,5.

4. Решить обратную задачу по данным:

x1 = 6 114 133,5; х2 = 6 107 134,0; у1 = 5.565 596,8; у2 = 5 574 985,3. Ответ: α1, 2 = 126°42’21"; s =11710,5.  

 

 

5. Решить треугольник по данным: