Примеры непрерывных случайных величин

Мелкое замечание. Пусть x и h — независимые случайные величины с плотностями и . Плотность случайной величины x + h вычисляется по формуле свертки

Равномерное распределение.Непрерывная случайная величина x имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если плотность распределения рx(x) сохраняет постоянное значение на этом промежутке:

Функция распределения Fx(x) равномерно распределенной случайной величины равна

Fx(x)=

Математическое ожидание и дисперсия ; .

Показательное (экспоненциальное) распределение.Непрерывная случайная величина x, принимающая …
неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром l>0, если плотность распределения вероятностей случайной величины равна

рx(x)=

Функция распределения показательного распределения имеет вид

Fx(x)=

а математическое ожидание и дисперсия равны Мx= , Dx= .

Нормальное распределение (распределение Гаусса). Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону с параметрами и , если ее плотность распределения равна

.

Через обозначается множество всех случайных величин, распределенных по нормальному закону с параметрами и .

Функция распределения нормально распределенной случайной величины равна

.

Параметры нормального распределения суть математическое ожидание и дисперсия

В частном случае, когда и нормальное распределение называется стандартным, и класс таких распределений обозначается .

В этом случае плотность стандартного распределения равна

,

а функция распределения

Такой интеграл не вычислим аналитически (не берется в «квадратурах»), и потому для функции составлены таблицы. Функция связана с введенной в главе 4 функцией Лапласа

,

следующим соотношением . В случае же произвольных значений параметров и функция распределения случайной величины связана с функцией Лапласа с помощью соотношения:

.

Поэтому вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на интервал можно вычислять по формуле

.

Неотрицательная случайная величина x называется логарифмически нормально распределенной, если ее логарифм h=lnx подчинен нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия логарифмически нормально распределенной случайной величины равны Мx= и Dx= .

Распределение Лапласа задается функцией p(x)= elïxï, -¥<х<¥, (двусторонняя показательная плотность).

Дисперсия в два раза больше дисперсии случайной величины, распределенной по показательному закону Dx= = .

Случайная величина x распределена по закону Вейбулла, если она имеет функцию плотности распределения, равную

Функция распределения в этом случае определяется следующим выражением:

Распределению Вейбулла подчиняются времена безотказной работы многих технических устройств. В задачах данного профиля важной характеристикой является интенсивность отказа (коэффициент смертности) l(t) исследуемых элементов возраста t, определяемый соотношением l(t)= . Если a=1, то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение, а если a=2 — в так называемое распределение Рэлея.

Математическое ожидание распределения Вейбулла: и дисперсия — , где Г(а) -функция Эйлера. .

В различных задачах прикладной статистики часто встречаются так называемые «усеченные» распределения. Например, налоговые органы интересуются распределением доходов тех лиц, годовой доход которых превосходит некоторый порог с0, установленный законами о налогообложении. Эти распределения оказываются приближенно совпадающими с распределением Парето. Распределение Парето задается функциями

Fx(x)=P(x<x)=1–( )a; ,

где a>0, а х>с0. Основные числовые характеристики этого распределения существуют не всегда, а лишь при соблюдении определенных требований к значению параметра a: математическое ожидание — Мx= при a>1, дисперсия — Dx= существует при a>2;