Определение координат точек методом триангуляции

Определение координат точек методом триангуляции заключается в построении на местности системы смежных треугольников, вершинами которых являются определяемые и вспомогательные точки.

Треугольники могут образовывать ряды (рисунок 62), центральные системы (рисунок 63), сплошные сети. Отдельные точки могут определяться из вставок в треугольники (рисунок 64). При этом любая из принятых систем должна опираться, на две исходные стороны ГГС, а каждая из определяемых точек должна входить одновременно не менее чем в два треугольника.

 

Рисунок 62 – Ряд треугольников

 

Частным случаем триангуляции при определении координат отдельных точек являются засечки, суть которых заключается в построении треугольников, образованных односторонними направлениями с исходных пунктов на определяемую …
точку или с определяемой точки на исходные пункты ГГС.

В зависимости от того, где выполняются измерения, различаются следующие виды засечек: прямая, обратная и комбинированная.

Для определения координат достаточно знать два направления с исходных пунктов на определяемую точку или три направления с определяемой точки на исходные пункты, однако в этом случае грубые просчеты в измерениях и вычислениях не контролируются, поэтому в практике геодезических работ используют большее число направлений.

Прямой засечкой координаты точки определяются по измеренным направлениям с трех и более исходных пунктов (рисунок 66).

Обратной засечкой координаты определяются по измеренным направлениям с определяемой точки на четыре и более исходных пункта (рисунок 67).

Комбинированной засечкой координаты точки, определяются по измеренным направлениям с одного исходного пункта на определяемую точку и по направлениям с определяемой точки на три исходных пункта (рисунок 68).

   

Все виды засечек в основном равноценны по точности, но несколько различаются по объему полевых измерений. При прямой засечке измерения выполняются на трех исходных пунктах. В комбинированной засечке измерения выполняются на одном исходном пункте и на определяемой точке. В обратной засечке полевые измерения выполняются только на определяемой точке.

Полевые работы при определении координат точек методом триангуляции включают рекогносцировку, закрепление точек на местности и измерение горизонтальных направлений. В процессе рекогносцировки проверяются сохранность центров и знаков на пунктах ГГС и видимость по всем запроектированным направлениям, уточняется местоположение точек. Как правило, одновременно с рекогносцировкой производится закрепление точек на местности.

Определяемые точки закрепляются специальными центрами. На точках устанавливаются переносные наружные знаки, а при необходимости строятся постоянные знаки в виде простых пирамид или вех.

Горизонтальные направления измеряются точными оптическими теодолитами. Порядок измерения горизонтальных направлений (углов) изложен в разделе 3.1.

Элементы приведения на исходных пунктах ГГС и точках, где установлены наружные знаки, определяются, как правило, графическим способом. Порядок определения элементов приведения изложен в разделе 3.1.

 

Рисунок 65 – Прямая засечка с трёх пунктов

 

 

 

Рисунок 66 – Обратная засечка по четырем пунктам
Рисунок 67 – Комбинированная засечка по трем пунктам

Вычислительные работы при определении координат точек методом триангуляции включают:

— обработку полевых материалов и предварительные вычисления;

— вычисление координат точек, определенных засечками;

— уравнивание триангуляции.

В ходе обработки полевых материалов и предварительных вычислений проводятся:

— проверка журналов измерения горизонтальных углов (направлений) и центрировочных листов;

— приведение измеренных направлений к центрам пунктов (точек) и на плоскость проекции Гаусса;

— уравнивание направлений на станции.

Приведение измеренных направлений к центрам пунктов и на плоскость проекции Гаусса, а также уравнивание направлений на станции осуществляются по формулам (13), (14), (17) и (18). Примеры вычисления приведены в таблице 22 и 23. Вычисление прямой засечки выполняется двумя способами:

— по котангенсам углов треугольников;

— по котангенсам дирекционных углов направлений.

Первый способ ограничений не имеет. Второй способ применяется в случае, когда значения дирекционных углов направлений находятся в пределах 5 – 85°, 95– 175о, 85 – 265°, 275 – 355°.

Вычисление прямой засечки по котангенсам углов треугольников выполняется по формулам:

 

(53)

 

Контроль:

 

(54)

 

Обозначение исходных пунктов и углов треугольника осуществляется по следующему правилу (рисунок 69): если смотреть с исходной стороны АВ на определяемую точку Р, то пункт, находящийся слева, обозначается буквой А, и внутренний угол при нем – буквой α, а пункт, находящийся справа, обозначается буквой В, и внутренний угол при нем – буквой β.

Обозначение исходных пунктов и углов треугольника осуществляется по следующему правилу (рисунок 70): если смотреть с исходной стороны АВ на определяемую точку Р, то пункт, находящийся слева, обозначается буквой А, и внутренний угол при нем – буквой α, а пункт, находящийся справа, обозначается буквой В, и внутренний угол при нем – буквой β.

За окончательное значение координат определяемой точки принимается среднее арифметическое из полученных результатов. Допустимые расхождения в значениях координат устанавливаются инструкцией. Пример вычислений приведен в таблице 25.

 

Рисунок 68 – К вычислению прямой засечки по котангенсам углов треугольников  
Рисунок 69 – К вычислению прямой засечки по котангенсам дирекционных углов направлений

 

 

Таблица 25 – Вычисление прямой засечки по катангенсам углов треугольников

 

Название пункта (точки)   γ α β     xp xa xb ctg α + ctgγ ctgγ ctg α ctg β ctg α + ctgβ   yp ya yb
P, № 0801 А,№ 671, пир. В,№ 660, пир.     P, № 0801 А,№ 660, пир. В,№ 645, пир.     ТЧК № 0801 120о15’33» 35 45 5 23 58 42 180 00 00   82 07 57 43 33 07 54 18 56 180 00 00   Среднее 6 407 998,5 6 408 407,7 6 411 279,2     6 07 998,7 6 411 279,2 6 406 199,0     6 407 998,6 + 0,805051 — 0,583 398 + 1,388 449 + 2,248 322 + 3,636 771   + 1,190 053 + 0,138 184 + 1,051 869 + 0,718 161 1,770 030 7 58 797,4 7 585 677,3 7 580 202,1     7 582 97,0 7 580 202,1 7 579 739,3     7 582 797,2

 

Вычисление прямой засечки по котангенсам дирекционных углов выполняется по формулам:

(55)

 

Контроль

(56)

где ха, yа, хb, yb – координаты исходных пунктов А и В;

хp, yp – координаты определяемой точки Р;

αap, αbp – дирекционные углы направлений с исходных пунктов A и В на определяемую точку Р.

Обозначение исходных пунктов осуществляется по следующему правилу (рисунок 69): буквой В обозначается пункт, направление с которого на определяемую точку Р образует острый угол с направлением оси абсцисс х, второй пункт обозначается буквой А. За окончательное значение координат точки принимается среднее арифметическое из полученных результатов.

Пример вычисления приведен в таблице 26.

Таблица 26 – Вычисление прямой засечки по котангенсам дирекционных углов

 

Название пункта (точки) αbp αap xb xp – xb xp xp – xa xa xa – xp ctg αbp ctg αap ctg αbp – ctg αap   yb yp – yb yp yp – ya ya ya – yp
В, № 660, пир.   Р, № 0801   А, № 671, пир.   В, № 660, пир.   Р, № 0801   А, № 645, пир.   ТЧК № 081   141o39’12»   261 54 45     Среднее 6 411 279,2 — 3 280,7 6 407 998,5 — 409,2 6 408 407,7   — 1,26 410   + 0,14 210 7 580 202,1 + 2 595,3 7 582 797,4 — 2 879,9 7 585 677,3
  — 2 871,5   6 11 279,2 — 3 280,4 6 407 998,8 + 1 799,8 6 406 199,0   — 1,40 620     — 1,26 410   + 0,58 856   — 5 475,2   7 580 202,1 + 2 595,1 7 582 797,2 + 3 057,9 7 579 739,3
  — 5 080,2   6 407 998,6   — 1,85 266   + 462,8   7 582 797,3

При прямой засечке в качестве визирной цели на определяемой точке, как правило, используются телескопические вышки и другие приспособления, что позволяет значительно расширить возможность использования данного метода. Если по каким-либо условиям вышку установить непосредственно над определяемой точкой невозможно, поступают следующим образом: выбирают две вспомогательные точки, симметричные относительно определяемой, на которых поочередно устанавливают вышку, и определяют их координаты. Тогда координаты определяемой точки Р будут

 

. (57)

Вычисление обратной засечки выполняют в следующем порядке:

– составляют схему обратной засечки (рисунок 70), на которой обозначают: буквой Р – определяемую точку; буквой В – исходный пункт; направление на который с точки Р образует более острый угол с осью абсцисс (X); буквой А – исходный пункт, лежащий слева от пункта В (если смотреть с точки Р); буквой С – третий исходный пункт; буквой D – контрольный пункт;

– вычисляют дирекционный угол αap стороны АР по формуле

, ( 58)

где ха, ya, xb, xc, yc – координаты исходных пунктов ГГС;

α, β – значения измеренных углов на определяемой точке Р;

– вычисляют дирекционный угол αbp стороны ВР по формуле

 

(59)

– вычисляют дирекционный угол αap стороны ВР по формуле (55) котангенсов дирекционных углов;

– для контроля вычислений по полученным координатам определяемой точки Р и координатам контрольного пункта D вычисляют дирекционный угол αdp и длину Sdp стороны DP:

(60)

– вычисляют ошибку положения определяемой точки Р относительно исходных пунктов

(61)

 

где Δα = αdp – (αap + γ);

ρ» = 206 265.

Пример вычислений приведен в таблице 27.

 

Таблица 27 – Вычисление обратной засечки

 

 

Название пункта (точки) Координаты Результаты вычислений
x y
  В, № 111, сигн. А, № 123, пир. С, № 131, сигн. D, № 118, пир.     4 122 300,1 4 116 067,1 4 124 171,3 4 118 577,3   5 158 001,4 5 159 568,7 5 165 096,0 5 166 752,5   α β γ     69о55’31» 211 03 39 283 51 05   ctg α yb – ya ya – yc xc — xb   + 0.36 545 — 1 567,3 — 5 527,3 + 1 871,7   ctg β xb – xa xa – xc yb – yc     + 1,66 028 + 6 233,0 — 8 104,7 — 7 094,6
  Р, № 2023   4 122 064,4 yконтр Δα Δ     5 162 154,3 5 162 154,3 + 6» 0,17 м     Знам. αap αbp αbp + γ       — 78 77,9 23 19’20» 93 14 51 307 10 25     yp – ya ctg αap ctg αbp Разн.     + 2 585,6 + 2,31 950 — 0,05 674 — 2,37 624   xp – xd yp – yd ctg αdp αdp Sdp   + 3 487,1 — 4 598,2 — 0,75 836 307о10’31» 5,8 км

 

 

 

Рисунок 70 – К вычислению обратной засечки
Рисунок 71 – К вычислению комбинированной засечки

 

Вычисление комбинированной засечки выполняется двумя способами:

— по котангенсам углов треугольников;

— по котангенсам дирекционных углов направлений.

По котангенсам углов треугольников (рисунок 68) вычисление выполняют в следующем порядке:

— вычисляют значения углов треугольников β и α’;

— вычисляют по формулам (53) координаты определяемой точки Р (пример вычисления приведен в таблице 25).

Вычисление по котангенсам дирекционных углов направлений (рисунок 69) выполняют в следующем порядке:

— вычисляют дирекционный угол с исходного пункта, где проводились измерения на определяемую точку (вычисления выполняются, как правило, одновременно с уравниванием за условие станции, пример вычисления приведен в таблице 28);

— вычисляют дирекционные углы направлений с двух других исходных пунктов на определяемую точку αap и αa’р:

αap = αbp + 180o – γ; αa’р = αbp + 180o + γ;
(62)

— вычисляют по формулам (55) координаты определяемой точки Р (пример вычисления приведен в таблице 26).

Для отработки навыков в вычислении засечек рекомендуется первоначально вычисления производить с записью промежуточных действий. Уравнивание триангуляции осуществляется в следующем порядке:

 

 

Таблица 28 – Вычисление дирекционных углов направлений

 

 

Название направления Дирекционный угол αисх Приведение направления М αисх — М Δ Уравненное направление Мур   Дирекционный угол направления α
  № 660, пир.   № 671, пир.   № 0801   № 645, пир.       117о40’30»,1     —   185 12 19,3     0о00’00»,0     23 58 40,3   67 31 45,7       117о40’30»,1     —   117 40 33,6     + 1»,8     —   — 1,7     0о00’00»,0     23 58 42,1   67 31 49,2     117о40’30»,1     141 39 12,2   185 12 19,3

 

 

— вычисляют значения углов, подсчитывают суммы углов треугольников, а также находят невязки каждого треугольника

(63)

— уравнивают углы треугольников путем распределения невязки каждого треугольника поровну на все три угла

(64)

— вычисляют дирекционные углы сторон триангуляции;

— вычисляют по теореме синусов длины сторон первого и последующих треугольников:

(65)

где bi, ci – определяемые стороны треугольника;

ai – сторона треугольника, длина которой известна;

Ai, Bi, Ci – уравненные углы треугольника;

из решения последнего треугольника находят значение второй исходной стороны триангуляции и подсчитывают линейную невязку

 

(66)

где aвыч – вычисленное значение второй исходной стороны триангуляции;

аисх – значение этой же стороны из каталога.

Полученную линейную невязку распределяют на все стороны пропорционально числу треугольников от начальной стороны триангуляции.

Координаты вспомогательных и определяемых точек находят последовательно из решения прямых геодезических задач по уравненным сторонам треугольников и их дирекционным углам. Координаты каждой точки вычисляют дважды и из полученных значений берут среднее. После вычисления координат конечного исходного пункта триангуляции вычисляют невязки:

(67)

Полученные невязки вводят в результаты вычислений, после чего вычисляют окончательные значения координат вспомогательных и определяемых точек.

Контрольные вопросы и упражнения:

1. Изложить сущность геодезического ориентирования.

2 Перечислить методы определения координат точек и рассказать их сущность.

3. Рассказать о порядке выполнения полевых работ при определении координат отдельных точек из системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой.

4. Рассказать об общем порядке обработки результатов полевых измерений и вычисления системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой.

5. Выполнить уравнивание результатов измерений на пункте ГГС № 117.

 

Название направления Дирекционный угол исходной стороны αисх Приведенное направление М
№ 118, пир. № 120, пир. Шт. 1 108о15’46»,3 221 28 59,6 — 0о00’00»,0 113 13 18,5 240 17 29,4

 

6. Вычислить угловую невязку отдельного полигонометрического хода, если:

αН = 262°17’30";

αК = 226 10 01;

Σβ = 1656°07’40";

n = 10

7. Вычислить относительную линейную невязку полигонометрического хода, если Wx = – 1,2 м; Wy = 8,2; ΣS=9320 м.

8. Рассказать о порядке выполнения полевых работ при определении координат прямой засечкой. Рассказать об общем порядке вычисления прямой засечки.

9. Изложить общий порядок выполнения полевых работ при определении координат обратной и комбинированной засечками.

10. Координаты точки № 0882 определялись методом прямой засечки с трех пунктов ГГС. Вычислить координаты данной точки по котангенсам измеренных углов треугольников и котангенсам дирекционных углов направлений, если дано:

а) координаты трех исходных пунктов, и дирекционные углы направлений с исходных пунктов на определяемый;

 

Задача № 1

 

Название пункта x1 x2 x3 y1 y2 y3 αap αbp αcp
№ 117 № 121 № 124 6 371 371,2 6 369 946,6 6 367 423,2 9 428 552,4 9 427 697,0 9 428 913,9 155о59 43» 106 38 04 14 00 44

 

Ответ: xср = 6 369 433,1; уср = 9 429 415,5.

б) координаты трех исходных пунктов и внутренние углы при них;

 

 

Задача № 2

Название пункта x1 x2 x3   y1 y2 y3   α1 β1 α2 β2
№ 117 № 121   № 124 6 371 371,2 6 369 946,6   6 367 423,2 9 428 552,4 9 427 697,0   9 428 913,9 54о59 34» 75 39 01 47 37 10 39 45 30

Ответ: хср = 6 369 433,1; уср = 6 429 415,6.

 

11. Определить координаты точки № 0889 с трех пунктов ГГС прямой засечкой.

Измеренные направления:

№ 116, сигн.

№ 117, сигн. 0о00’00"; 0889 24°30’59"; № 110, сигн. 188°45’10".

№ 108, пир.

№ 116, сигн. 0°00’00"; 0889 48°09’50"; № 114, сигн. 140°55’38".

№ 117, сигн.

№ 116, сигн. 0о00’00"; № 118, сигн. 292°59’03"; 0889 309°16’28".

Исходные данные:

Название пункта X Y На какой пункт Дирекционный угол
№ 108, сигн.   № 116, сигн.   № 117, сигн.   4 125 442,3 7 201 467,7 4 125 369,8 7 208 026,5 4 120 570,5 7 203 808,5 № 116 № 114 № 117 № 110 № 116 № 108 90о37’58» 231 33 36 221 18 43 50 03 45 41 18 43 334 17 53

 

Ответ: хср: = 4 123 276,0; уср = 7 203 360,2.

 

12. Определить координаты точки № 0774 комбинированной засечкой. Исходные данные:

 

№ 148, сигн.; х = 4 107047,0; у = 7148 515,2; № 154, пир.; x = 4 105 151,9; y =7 150 999,7 № 152, сигн.; х = 4 099 765,1; y = 7 147 794,0.

 

Измеренные направления:

№ 152, сигн.
№ 148, сигн. № 154, пир. № 152, сигн. 0о00’00» 24 45 58 81 05 14 № 148, сигн. № 154, пир. 0о00’00» 79 34 51 104 40 54
       

Ответ: х = 4 100 444,1; y = 7 145 437,9.

13. Координаты точки № 0883 определялись обратной засечкой по четырем пунктам ГГС. Вычислить обратную засечку.

Задача № 1

Исходные данные:

 

№ 32, сигн.   № 36, сигн. х = 4 137 488,8; у = 4 472 286,0. х = 4 134 397,1; y = 7 485 130,6. № 34, пир.   № 38, пир. х = 4 135 931,0; у = 7 478 105,9. х = 4 127 829,9; у = 7 471 705,7.

Измеренные направления:

№ 32, сигн. 0°00’00"; № 34, сигн. 45°16’01"; № 36, сигн. 68o09’08";

№ 38, пир. 167°55’51".

Ответ: x = 4 130 805,7; y = 7 471 449,0.

 

 

Задача № 2

Исходные данные:

№ 63, пир.   № 65, пир.   x = 4 127829,9; у = 7 471705,7. x = 4 121 217,8; y = 7478168,2. № 64, пир.   № 67, сигн. x = 4 128403,1; у = 7 479 515,1. x = 4 120 222,2; у = 7474010,2.

 

Измеренные направления:

№ 63, пир. 0°00’00"; № 64, пир. 74°17’36"; № 65, пир. 132°.43’44";

№ 67, сигн. 171°51’54".

Ответ: х = 4 124 651,9; y =7 472 383,1.