Определение элементов и построение эллипса искажений

Возьмем на картографируемой поверхности окружность бесконечно малого радиуса и исследуем, как эта окружность будет изображаться в проекции.

Известно, что масштаб длин в данной точке зависит от азимута азимуту на картографируемой поверхности в проекции соответствует азимуту масштаб по этому направлению азимуту на поверхности соответствует в проекции азимут по этому направлению масштаб длин и т.д. (рис. 2.2).

 

Рис. 2.2. Эллипс искажений

Из точки которая является изображением заданной на картографируемой поверхности точки проведем направления, составляющие с направлением меридиана, принятым за …
ось углы и т.д. На этих направлениях отложим отрезки, численно равные значениям масштаба длин и т.д.

Соединив конечные точки этих отрезков, мы получим кривую, которая характеризует изменение масштаба длин в зависимости от азимута.

Приняв точку за начало прямоугольных координат и за полюс плоских полярных координат , можем написать

(15)

откуда

(16)

Подставим значения формулы (16) и в формулу (13) и получим уравнение центральной кривой второго порядка

Из этого уравнения определим дискриминант

и установим, что исследуемая кривая является эллипсом. Следовательно, бесконечно малый эллипс в каждой точке на карте, являющийся изображением бесконечно малого круга на поверхности эллипсоида или шара, называется эллипсом искажений*.

Численные величины полуосей этого эллипса соответствуют величинам экстремальных масштабов, а величины двух сопряженных полудиаметров – величинам масштабов по меридианам и параллелям (рис. 2.3); при этом полудиаметр, совпадающий с направлением меридиана, повернут относительно большой полуоси эллипса на угол

 

* Понятие эллипса искажений ввел в математическую картографию Тиссо.

 

 

Рис 2.3. Элементы эллипса искажения

Ориентировку эллипса искажений относительно линий меридианов и параллелей определим из общего уравнения эллипса. Для этого примем, что меридианы и параллели проходят через оси исовпадающими с главными направлениями

Координаты точки этого эллипса могут быть поучены из треугольника (см. рис. 2.3)

тогда

Известно, что

откуда

(17)

Для того, чтобы построить эллипс в заданной точке проекции, желательно знать шесть указанных выше величин:

Применяя к эллипсу положения Аполлония, найдем формулы связи экстремальных масштабов с масштабами по меридианам и параллелям.