Исследование изменения масштаба длин в данной точке. Главные направления

Известно, что частный масштаб длин зависит от азимута. Из формулы (8)

Где из формулы (7)

Чтобы определить экстремальные значения масштаба длин, нужно взять производную масштаба по азимуту и приравнять ее нулю

Отсюда

(14)

Полученное численное значение одинаково по величине и знаку для двух значений отличающихся друг от друга на 90° и расположенных между 0 и 180°. Предположим, что именно для этих значений масштабы длин будут минимальны и максимальны.

Определим вторую производную от по


Вторая производная будет иметь противоположные знаки для азимутов и так как выражение, заключенное в скобки, на знак не влияет. Следовательно, при отображении заданной точки существуют два взаимно перпендикулярных направления, по которым масштабы длин имеют максимальное и минимальное значения. Определим, под каким углом будут пересекаться эти направления в проекции.

Азимуту в проекции соответствует азимут а азимуту азимут

Согласно формуле (10)

Если то произведение тангенсов этих азимутов должно быть равно минус единице

Известно, что

Из формулы (14)

Тогда

Следовательно, Можно сделать вывод, что существуют два взаимно перпендикулярных направления на картографируемой поверхности, которые остаются взаимно перпендикулярными в проекции (на карте). Эти направления называются главными, масштабы по этим направлениям экстремальны. Если картографическая сетка ортогональна, то главные направления совпадают с меридианами и параллелями.